XおよびYにトレースが簡単な数値を設定して、出力Zが適切な値かどうかで正しい組合せを導きます。ここではX＝3，Y＝3とすることにします。X,Yともにビット表記では011です。またあるビット列を左に1ビットシフトすると2倍、右に1ビットシフトすると1／2したのと同じになります。(ビットあふれは無視します)

• 1. Yの0ビット目は1なので、Z←(Z＋X) //Z＝3
  2. Xを1ビット左シフト //X＝6
  3. Yを1ビット右シフト //Y＝1
  4. i←(i＋1) //i＝1
  5. Yの第0ビットは1なので、Z←(Z＋X) //Z＝9
  6. Xを1ビット左シフト //X＝12
  7. Yを1ビット右シフト //Y＝0
  8. 以後、Yの第0ビットはi>16になるまで0なので、加算は行われずにループ終了
  9. Zを出力する //Z＝9
• 1. Yの第0ビットは1なので、Z←(Z＋X) //Z＝3
  2. Xを1ビット右シフト //X＝1
  3. Yを1ビット左シフト //Y＝6
  4. i←(i＋1) //i＝1
  5. Yを左にシフトすると第0ビットに0が挿入される。以後、Yの第0ビットはi>16になるまで常に0なので、加算は行われずにループ終了
  6. Zを出力する //Z＝3
• 1. Yの第15ビットは0なので加算はなし
  2. Xを1ビット左シフト //X＝6
  3. Yを1ビット右シフト //Y＝1
  4. i←(i＋1) //i＝1
  5. Yを右にシフトすると第15ビットには0が挿入される。以後、Yの第15ビットはi>16になるまで常に0なので、加算は行われずにループ終了
  6. Zを出力する //Z＝0
• 1. Yの第15ビットは0なので加算はなし
  2. Xを1ビット右シフト //X＝1
  3. Yを1ビット左シフト //Y＝6
  4. i←(i＋1) //i＝1
  5. Yの第15ビットは0なので加算はなし
  6. Xを1ビット右シフト //X＝0
  7. Yを1ビット左シフト //Y＝12
  8. Xが0になったので、加算処理が行われたとしてもZは0のままでループ終了
  9. Zを出力する //Z＝0

唯一、正しい結果を得られる「ア」の組合せが適切とわかります。

このアルゴリズムを一言で言うならば、Yの第nビットが1であれば、ZにX×2ⁿを加算する処理を繰り返すものということになります。

おまけとしてこのアルゴリズムをJavaScriptで実装したソースプログラムを掲載します。実行環境で数値やシフト部分を変えてお試しください。

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